Analisi distanza peak-to-peak vs V bias: la stima di breakdown voltage

# Import dei pacchetti
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
import pandas as pd 
from scipy.optimize import curve_fit

Misure manuali dall'oscilloscopio

Si importano i dati misurati con i cursori (x,y) manualmente dall'oscilloscopio

data = pd.read_excel("scan.xlsx")
data

	Vbias (V)	Bias effettivo	PP12 (mV)	PP34 (mV)	T (°C)	Unnamed: 5	Unnamed: 6
0	57.00	56.85	41.00	43.50	28.2	NaN	Gain 36 dB
1	56.50	56.34	36.75	36.25	28.1	NaN	5mV circa spessore traccia
2	56.00	55.83	31.25	31.00	NaN	NaN	NaN
3	55.50	55.32	28.25	28.00	NaN	NaN	NaN
4	55.00	54.81	25.00	24.00	NaN	NaN	NaN
5	54.50	54.35	19.25	21.00	NaN	NaN	NaN
6	54.25	54.10	17.50	16.00	NaN	NaN	NaN
7	54.00	53.85	15.50	15.00	NaN	NaN	NaN
8	53.75	53.53	12.50	14.75	NaN	NaN	NaN
9	53.50	53.36	15.25	-1.00	NaN	NaN	NaN
10	53.25	53.09	8.50	-1.00	NaN	NaN	NaN
11	53.00	-1.00	-1.00	-1.00	NaN	NaN	NaN

Si convertono i dati da liste a vettori di numpy

V = np.array(list(map(float, list(data['Bias effettivo'])))) ; 
pp12 = np.array(list(map(float, list(data['PP12 (mV)']))))  
pp34 = np.array(list(map(float, list(data['PP34 (mV)']) )))

Si settano dei tagli nei dati dopo aver estratto le colonne d'interesse. I tagli hanno lo scopo di eliminare i dati non utili ai fini dell'analisi.

threshold_pp12 = np.min(np.array([V[V>0].size , pp12[pp12>0].size]))
threshold_pp34 = np.min(np.array([V[V>0].size , pp34[pp34>0].size]))

V_pp12 = V[ : threshold_pp12 ] ; V_pp34 = V[ : threshold_pp34 ] ;
pp12 = pp12[ : threshold_pp12] ; pp34 = pp34[ : threshold_pp34 ]
V_pp12 = V_pp12[: : -1] ; V_pp34 = V_pp34[: : -1]
pp12 = pp12[ : : -1] ; pp34 = pp34[: : -1]
print(pp12 , V_pp12)

[ 8.5  15.25 12.5  15.5  17.5  19.25 25.   28.25 31.25 36.75 41.  ] [53.09 53.36 53.53 53.85 54.1  54.35 54.81 55.32 55.83 56.34 56.85]

Si definiscono le funzioni di fit, entrambi lineari.

def f(x,m,q):
    return  m*x + q

# Fit per la calibrazione --> G = dV * Cd / e con dV = Vb - Vbd, Cd capacità della singola cella in rb

def G(vb,vbd,cd):
    e = 1.58e-19
    cd = 5e-14 # --> Assumendo che le celle siano tutte "uguali" si considera una capacità di 50 fF
    return  (vb-vbd)*cd/e

Si esegue il fit lineare dei dati relativi alle distanze tra i picchi 2-1. L'errore associato alla misura del picco è la larghezza della banda osservabile, alla metà della quale è stato misurato il dato.

stef = 2
err = np.ones(pp12.size)*stef*np.sqrt(2)

popt12, optcov12 = curve_fit(f, V_pp12, pp12, p0 = None , sigma= err, absolute_sigma = True)

m12,q12 = popt12
y_new12 = f(V_pp12, m12, q12)

m12_round = round(m12,2) ; q12_round = round(q12,2)
err_m12_round = round(optcov12[0,0]**(1/2),2) ; err_q12_round = round(optcov12[1,1]**(1/2),2)

plt.figure()#figsize=(12,5))
plt.title("Stima del breakdown voltage",fontsize = 16)
plt.errorbar(V_pp12, pp12, stef,  0.001, marker='*' , markersize = 7, linestyle = '',  color = 'red', label='Dati')
plt.ylabel("$\Delta pp_{21}$ [ADC]", fontsize = 14)
plt.xlabel('V bias [V]', fontsize = 14) 
plt.grid('True', alpha = 0.3)
plt.plot(V_pp12, y_new12, linewidth = 1 , linestyle = '--', label='Fit')
plt.legend(loc = "lower right", fontsize = 14)
plt.show() 

myChi2_12 = np.sqrt(np.sum(((pp12-f(V_pp12, *popt12))/stef )**2)) / (len(pp12) - len(popt12) )
print(myChi2_12)

0.22818639233754043

Lo stesso procedimento è applicato alle misure di distanza tra i picchi 4 e 3.

t =  np.array([28.2 , 28.1])
t_m = np.mean(t) ; err_t = np.std(t)
err = np.ones(pp34.size)*stef*np.sqrt(2)

popt34, optcov34 = curve_fit(f, V_pp34, pp34, p0 = None , sigma= err, absolute_sigma = True)

m34,q34 = popt34
y_new34 = f(V_pp34, m34, q34)

m34_round = round(m34,2) ; q34_round = round(q34,2)
err_m34_round = round(optcov34[0,0]**(1/2),2) ; err_q34_round = round(optcov34[1,1]**(1/2),2)

plt.figure()#figsize=(12,5))
plt.title("Stima del breakdown voltage",fontsize = 16)
plt.errorbar(V_pp34, pp34, stef, 0.001, linestyle = '',  marker='*', markersize = 7, color = 'red',label='Dati')
plt.ylabel("$\Delta pp_{43}$ [ADC]", fontsize = 14)
plt.xlabel('V bias [V]', fontsize = 14) 
plt.grid('True', alpha = 0.3)
plt.plot(V_pp34, y_new34, linewidth = 1 , linestyle = '--', label='Fit')
plt.legend(loc = "lower right",fontsize = 14)
plt.show()

myChi2_34 = np.sqrt(np.sum(((pp34-f(V_pp34, *popt34))/stef )**2)) / (len(pp34) - len(popt34) )
print(myChi2_34)


m = np.array([popt12[0], popt34[0]]) ;
dm = np.array([optcov12[0,0], optcov34[0,0]]) ;
pm = 1/(dm**2)

q = np.array([popt12[1], popt34[1]]) ;
dq = np.array([optcov12[1,1] , optcov34[1,1]]) ;
pq = 1/(dq**2)

cov = np.array([optcov12[1,0], optcov34[1,0]]) ;

r = -q/m 

err_r = np.sqrt( dq / m**2 + q**2 / m**4 * dm + 2 * q/ m**3 * cov  )
p = 1/(err_r**2)
print(r)

mean_r = (np.sum(r*(1/err_r**2))/(np.sum(p)))
err_mean = 1/(np.sqrt(np.sum(p)))

print('La tensione di breakdown media estrapolata è:', mean_r, "con incertezza:", err_mean)

0.2853880521056999
[51.90152462 52.03777383]
La tensione di breakdown media estrapolata è: 51.959270789694024 con incertezza: 6.974433535015881

Misure della distanza tra i picchi dello spettro

Si eseguono gli stessi procedimenti di fit per i dati acquisiti dallo spettro in ADC manualmente con un cursore.

data_spectrum = pd.read_excel("scan_spectrum.xlsx")
data_spectrum

	Vbias (V)	Picco1 (ADC)	Picco2 (ADC)	Picco3 (ADC)	Picco4 (ADC)	Dpp21	Dpp43
0	57.00	950.0	1885.0	2806.0	3740.0	935	934
1	56.50	852.0	1698.0	2535.0	3373.0	846	838
2	56.00	754.0	1507.0	2255.0	3003.0	753	748
3	55.50	658.0	1319.0	1976.0	2621.0	661	645
4	55.00	558.0	1128.0	1691.0	2242.0	570	551
5	54.50	471.0	930.0	1400.0	1864.0	459	464
6	54.25	416.0	837.0	1245.0	1673.0	421	428
7	54.00	376.0	738.0	1109.0	1480.0	362	371
8	53.75	321.0	651.0	954.0	1276.0	330	322
9	53.50	267.0	540.0	812.0	1078.0	273	266
10	53.25	222.0	432.0	662.0	878.0	210	216
11	53.00	173.0	333.0	513.0	-1.0	160	-514

V_s = np.array(list(map(float, list(data_spectrum['Vbias (V)'])))) ; 
d21 = np.array(list(map(float, list(data_spectrum['Dpp21']))))  
d43 = np.array(list(map(float, list(data_spectrum['Dpp43']) )))

threshold_d21 = np.min(np.array([V_s[V_s>0].size , d21[d21>0].size]))
threshold_d43 = np.min(np.array([V_s[V_s>0].size , d43[d43>0].size]))

V_d21 = V_s[ : threshold_d21 ] ; V_d43 = V_s[ : threshold_d43 ] ;
d21 = d21[ : threshold_d21] ; d43 = d43[ : threshold_d43 ]
V_d21 = V_d21[: : -1] ; V_d43 = V_d43[: : -1]
d21 = d21[: : -1] ; d43 = d43[: : -1]

err = np.sqrt(2)*np.ones(d21.size)

L'errore sulla singola misura è 1 ADC.

popt21, optcov21 = curve_fit(f, V_d21, d21 , p0 = None , sigma= err, absolute_sigma = True)

m21,q21 = popt21
y_new21 = f(V_d21, m21, q21)

m21_round = round(m21,2) ; q21_round = round(q21,2)
err_m21_round = round(optcov21[0,0]**(1/2),2) ; err_q21_round = round(optcov21[1,1]**(1/2),2)

myChi2_21 = np.sqrt(np.sum(((d21-f(V_d21, *popt21))/np.sqrt(2) )**2)) / (len(d21) - len(popt21) )
print(myChi2_21)

plt.figure()#figsize=(12,5))
plt.title("Stima del breakdown voltage",fontsize = 16)
plt.plot(V_d21, y_new21, linewidth = 1 , linestyle = '--', label='Fit')
plt.errorbar(V_d21, d21, err, 0.001 , marker='*' , markersize = 7, linestyle = '', color = 'red', label='Dati')
plt.ylabel("$\Delta pp_{21}$ [ADC]", fontsize = 14)
plt.xlabel('V bias [V]', fontsize = 14) 
plt.grid('True', alpha = 0.3)
plt.legend(fontsize = 14, loc="lower right")
plt.show()
print(m21_round,q21_round)

1.984470660326928

193.24 -10069.25

err = np.sqrt(2)*np.ones(d43.size)

popt43, optcov43 = curve_fit(f, V_d43, d43 , p0 = None , sigma= err, absolute_sigma = True)

m43,q43 = popt43
y_new43 = f(V_d43, m43, q43)

m43_round = round(m43,2) ; q43_round = round(q43,2) ; print(m43_round,q43_round)
err_m43_round = round(optcov43[0,0]**(1/2),2) ; err_q43_round = round(optcov43[1,1]**(1/2),2) ; print(err_m43_round,err_q43_round)

myChi2_43 = np.sqrt(np.sum(((d43-f(V_d43, *popt43))/np.sqrt(2) )**2)) / (len(d43) - len(popt43) )
print(myChi2_43)
plt.figure()#figsize=(12,5))
plt.title("Stima del breakdown voltage",fontsize = 16)
plt.plot(V_d43, y_new43, linewidth = 1 , linestyle = '--', label='Fit')
plt.errorbar(V_d43, d43, err, 0.001 , marker='.' , markersize = 7, linestyle = '', color = 'red', label='Dati')
plt.ylabel("$\Delta pp_{43}$ [ADC]", fontsize = 14)
plt.xlabel('V bias [V]', fontsize = 14) 
plt.grid('True', alpha = 0.3)
plt.legend(fontsize = 14, loc="lower right")
plt.show()

189.33 -9857.15
0.35 19.45
1.588004110408253

Misure del potenziale di breakdown

La misura del potenziale di breakdown si può trovare dal rapporto -q/m dei fit prima effettuati. Questa procedura ci permette di verificare se le misure effettuate sono tra loro compatibili, non solo rispetto ai picchi considerati, ma anche rispetto alle procedure stesse.

Come prima cosa si vettorializzano i valori dei coefficienti angolari e delle intercette dei fit, con le rispettive incertezze estratte dalla matrice di covarianza.

m = np.array([m21, m43]) ;
dm = np.array([optcov21[0,0], optcov43[0,0]]) ;
pm = 1/(dm**2)

q = np.array([q21 , q43]) ; 
dq = np.array([optcov21[1,1] , optcov43[1,1]]) ;
pq = 1/(dq**2)

cov = np.array([optcov21[1,0], optcov43[1,0]]) ;

r = -q/m 

err_r = np.sqrt( dq / m**2 + q**2 / m**4 * dm + 2 * q/ m**3 * cov  )
p = 1/(err_r**2)
print(r)

[52.10861313 52.06408976]

Si definisce r il rapporto tra le intercette e i coefficienti angolari di ogni singolo fit, cambiato di segno, con il relativo errore.

Si trovano il valore medio di r come la media pesata dei risultati sopra trovati e l'incertezza associata a tale media.

mean_r = (np.sum(r*(1/err_r**2))/(np.sum(p)))
err_mean = 1/(np.sqrt(np.sum(p)))

print('La tensione di breakdown media estrapolata è:', mean_r, "con incertezza:", err_mean)

La tensione di breakdown media estrapolata è: 52.088804320122655 con incertezza: 0.1335488318930171